W rozdziale tym wyprowadzimy funkcje bazowe zwane klasycznymi wielomianami Lagrange'a. Wielomiany Lagrange'a pierwszego stopnia są równoważne funkcjom B-spline pierwszego stopnia, mają dokładnie takie same wzory.
Wielomiany Lagrange'a drugiego stopnia można wyprowadzić z ogólnego wzoru na B-spline'y stosując wektor węzłów generujący B-spline'y drugiego stopnia, w którym powtórzono wszystkie wewnętrze węzły \( p \) razy, czyli
\( [0 \quad 0 \quad 0 \quad 1 \quad 1 \quad 2 \quad 2 \quad 3 \quad 3 \quad 4 \quad 4 \quad 5 \quad 5 \quad 5] \)
Tak zdefiniowany wektor węzłów wygeneruje nam funkcje bazowe równoważne wielomianom Lagrange'a drugiego stopnia (wielomianom kwadratowym) używanym w tradycyjnej metodzie elementów skończonych. W celu zilustrowania funkcji bazowych wynikających z różnych wektorów węzłów polecamy załączony kod MATLABa.
Jak wyglądają takie funkcje bazowe? Musimy wygenerować krok po kroku wszystkie wielomiany zerowego stopnia, oraz wielomiany pierwszego i drugiego stopnia, używając wzoru Cox-de-Boor'a. Zacznijmy od wielomianów zerowego stopnia. Mamy teraz \( \xi_1=\xi_2=\xi_3=0, \xi_4=\xi_5=1, \xi_6=\xi_7=2, \xi_8=\xi_9=3, \xi_{10}=\xi_{11}=4 \textrm{ oraz } \xi_{12}=\xi_{13}=\xi_{14}=5 \)
\( B_{1,0}=1\textrm{ dla }x\in[\xi_1,\xi_2=[0,0]=\{0\} \), 0 w pozostałych punktach,
\( B_{2,0}=1\textrm{ dla }x\in[\xi_2,\xi_3]=[0,0]=\{0\} \), 0 w pozostałych punktach,
\( B_{3,0}=1\textrm{ dla }x\in[\xi_3,\xi_4]=[0,1] \), 0 w pozostałych punktach,
\( B_{4,0}=1\textrm{ dla }x\in[\xi_4,\xi_5]=[1,1]=\{1\} \), 0 w pozostałych punktach,
\( B_{5,0}=1\textrm{ dla }x\in[\xi_5,\xi_6]=[1,2] \), 0 w pozostałych punktach,
\( B_{6,0}=1\textrm{ dla }x\in[\xi_6,\xi_7]=[2,2]=\{2\} \), 0 w pozostałych punktach,
\( B_{7,0}=1\textrm{ dla }x\in[\xi_7,\xi_8]=[2,3] \), 0 w pozostałych punktach,
\( B_{8,0}=1\textrm{ dla }x\in[\xi_8,\xi_9]=[3,3]=\{3\} \), 0 w pozostałych punktach,
\( B_{9,0}=1\textrm{ dla }x\in[\xi_{10},\xi_{11}]=[3,4] \), 0 w pozostałych punktach,
\( B_{10,0}=1\textrm{ dla }x\in[\xi_{11},\xi_{12}]=[4,4]=\{4\} \), 0 w pozostałych punktach,
\( B_{11,0}=1\textrm{ dla }x\in[\xi_{12},\xi_{13}]=[4,5] \), 0 w pozostałych punktach,
\( B_{12,0}=1\textrm{ dla }x\in[\xi_{13},\xi_{14}]=[5,5]=\{5\} \), 0 w pozostałych punktach,
\( B_{13,0}=1\textrm{ dla }x\in[\xi_{14},\xi_{15}]=[5,5]=\{5\} \), 0 w pozostałych punktach.
Podobnie, musimy wygenerować funkcje bazowe pierwszego stopnia dla nowego wektora węzłów. Przypominamy sobie wzór dla \( p=1 \)
\( B_{i,1}(\xi)=\frac{\xi-\xi_i}{\xi_{i+1}-\xi_i}B_{i,0}(\xi)+\frac{\xi_{i+2}-\xi}{\xi_{i+2}-\xi_{i+1}}B_{i+1,0}(\xi) \),
do którego wstawiamy kolejne węzły:
\( B_{1,1}(\xi)=\frac{\xi-\xi_1}{\xi_{2}-\xi_1}B_{1,0}(\xi)+\frac{\xi_{3}-\xi}{\xi_{3}-\xi_{2}}B_{2,0}(\xi)={\color{red}{\frac{\xi-0}{0-0}B_{1,0}(\xi)+\frac{0-\xi}{0-0}B_{2,0}(\xi)}} =0 \),
\( B_{2,1}(\xi)=\frac{\xi-\xi_2}{\xi_{3}-\xi_2}B_{2,0}(\xi)+\frac{\xi_{4}-\xi}{\xi_{4}-\xi_{3}}B_{3,0}(\xi)={\color{red}{\frac{\xi-0}{0-0}B_{2,0}(\xi)}}+\frac{1-\xi}{1-0}B_{3,0}(\xi)=1-\xi \textrm{ dla } \xi\in[0,1] \),
\( B_{3,1}(\xi)=\frac{\xi-\xi_3}{\xi_{4}-\xi_3}B_{3,0}(\xi)+\frac{\xi_{5}-\xi}{\xi_{5}-\xi_{4}}B_{4,0}(\xi) = \frac{\xi-0}{1-0}B_{3,0}(\xi)+{\color{red}{\frac{1-\xi}{1-1}B_{4,0}(\xi)}} = \xi \textrm{ dla } \xi\in[0,1] \),
\( B_{4,1}(\xi)=\frac{\xi-\xi_4}{\xi_{5}-\xi_4}B_{4,0}(\xi)+\frac{\xi_{6}-\xi}{\xi_{6}-\xi_{5}}B_{5,0}(\xi) = {\color{red}{\frac{\xi-1}{1-1}B_{4,0}(\xi)}}+\frac{2-\xi}{2-1}B_{5,0}(\xi) =2-\xi \textrm{ dla } \xi\in[1,2] \),
\( B_{5,1}(\xi)=\frac{\xi-\xi_5}{\xi_{6}-\xi_5}B_{5,0}(\xi)+\frac{\xi_{7}-\xi}{\xi_{7}-\xi_{6}}B_{6,0}(\xi) = \frac{\xi-1}{2-1}B_{5,0}(\xi)+{\color{red}{\frac{2-\xi}{2-2}B_{6,0}(\xi)}} =\xi-1 \textrm{ dla } \xi\in[1,2] \),
\( B_{6,1}(\xi)=\frac{\xi-\xi_6}{\xi_{7}-\xi_{6}}B_{6,0}(\xi)+\frac{\xi_{8}-\xi}{\xi_{8}-\xi_{7}}B_{7,0}(\xi) = {\color{red}{\frac{\xi-2}{2-2}B_{6,0}(\xi)}}+\frac{3-\xi}{3-2}B_{7,0}(\xi) =3-\xi \textrm{ dla } \xi\in[2,3] \),
\( B_{7,1}(\xi)=\frac{\xi-\xi_7}{\xi_{8}-\xi_7}B_{7,0}(\xi)+\frac{\xi_{9}-\xi}{\xi_{9}-\xi_{8}}B_{8,0}(\xi) = \frac{\xi-2}{3-2}B_{7,0}(\xi)+{\color{red}{\frac{3-\xi}{3-3}B_{9,0}(\xi)}} =\xi-2 \textrm{ dla } \xi\in[2,3] \),
\( B_{8,1}(\xi)=\frac{\xi-\xi_8}{\xi_{9}-\xi_8}B_{8,0}(\xi)+\frac{\xi_{10}-\xi}{\xi_{10}-\xi_{9}}B_{9,0}(\xi) = {\color{red}{\frac{\xi-3}{3-3}B_{8,0}(\xi)}}+\frac{4-\xi}{4-3}B_{9,0}(\xi) =4-\xi \textrm{ dla } \xi\in[3,4] \),
\( B_{9,1}(\xi)=\frac{\xi-\xi_9}{\xi_{10}-\xi_9}B_{9,0}(\xi)+\frac{\xi_{11}-\xi}{\xi_{11}-\xi_{10}}B_{10,0}(\xi) = \frac{\xi-4}{4-3}B_{9,0}(\xi)+{\color{red}{\frac{4-\xi}{4-4}B_{10,0}(\xi)}} = \xi-3 \textrm{ dla } \xi\in[3,4] \),
\( B_{10,1}(\xi)=\frac{\xi-\xi_{10}}{\xi_{11}-\xi_{10}}B_{10,0}(\xi)+\frac{\xi_{12}-\xi}{\xi_{12}-\xi_{11}}B_{11,0}(\xi) ={\color{red}{\frac{\xi-4}{4-4}B_{10,0}(\xi)}}+\frac{5-\xi}{5-4}B_{11,0}(\xi) 5-\xi \textrm{ dla } \xi\in[4,5] \),
\( B_{11,1}(\xi)=\frac{\xi-\xi_{11}}{\xi_{12}-\xi_{11}}B_{11,0}(\xi)+\frac{\xi_{13}-\xi}{\xi_{13}-\xi_{12}}B_{12,0}(\xi) =\frac{\xi-4}{5-4}B_{11,0}(\xi)+{\color{red}{\frac{5-\xi}{5-5}B_{12,0}(\xi)}} =\xi-4 \textrm{ dla } \xi\in[4,5] \),
\( B_{12,1}(\xi)=\frac{\xi-\xi_{12}}{\xi_{13}-\xi_{12}}B_{12,0}(\xi)+\frac{\xi_{14}-\xi}{\xi_{14}-\xi_{13}}B_{13,0}(\xi) ={\color{red}{\frac{\xi-5}{5-5}B_{11,0}(\xi)+\frac{5-\xi}{5-5}B_{12,0}(\xi)}}=0 \).
Możemy teraz wygenerować wszystkie funkcje B-spline drugiego stopnia ponownie używając wzoru dla \( p=2 \), przy założeniu że kolejne węzły wsadzane do mianownika muszą być różne, a jeśli nie są różne, wówczas dany człon zamieniamy na zero. Człony które znikają zaznaczamy ponownie na czerwono. W końcowym etapie wyprowadzenia wstawiamy obliczone przed chwilą wzory na
\( B_{1,1}(\xi)=0 \), \( B_{2,1}=1-\xi \textrm{ dla } \xi\in[0,1] \), \( B_{3,1}=\xi \textrm{ dla } \xi\in[0,1] \), \( B_{4,1}=2-\xi \textrm{ dla } \xi\in[1,2] \), \( B_{5,1}=\xi-1 \textrm{ dla } \xi\in[1,2] \), \( B_{6,1}=3-\xi \textrm{ dla } \xi\in[2,3] \), \( B_{7,1}=\xi-2 \textrm{ dla } \xi\in[2,3] \), \( B_{8,1}=4-\xi \textrm{ dla } \xi\in[3,4] \), \( B_{9,1}=\xi-3 \textrm{ dla } \xi\in[3,4] \), \( B_{10,1}=5-\xi \textrm{ dla } \xi\in[4,5] \), \( B_{11,1}=\xi-4 \textrm{ dla } \xi\in[4,5] \), \( B_{12,1}=0 \).
Uzyskujemy
\( B_{1,2}(\xi)=\frac{\xi-\xi_1}{\xi_{3}-\xi_1}B_{1,1}(\xi)+\frac{\xi_{4}-\xi}{\xi_{4}-\xi_{2}}B_{2,1}(\xi) ={\color{red}{\frac{\xi-0}{0-0}B_{1,1}(\xi)}}+\frac{1-\xi}{1-0}B_{2,1}(\xi) = (1-\xi)^2 \textrm{ dla } \xi\in[0,1] \).
\( B_{2,2}(\xi)=\frac{\xi-\xi_2}{\xi_{4}-\xi_2}B_{2,1}(\xi)+\frac{\xi_{5}-\xi}{\xi_{5}-\xi_{3}}B_{3,1}(\xi) = \frac{\xi-0}{1-0}B_{2,1}(\xi)+\frac{1-\xi}{1-0}B_{3,1}(\xi) = \\ = \frac{\xi-0}{1-0}\left[1-\xi \textrm{ dla } \xi\in[0,1]\right]+\frac{1-\xi}{1-0}\left[ \xi \textrm{ dla } \xi\in[0,1] \right] = \xi (1-\xi) + (1-\xi)\xi \textrm{ dla } \xi\in[0,1] =2 \xi(1-\xi) \textrm{ dla } \xi\in[0,1] \).
\( B_{3,2}(\xi)=\frac{\xi-\xi_3}{\xi_{5}-\xi_3}B_{3,1}(\xi)+\frac{\xi_{6}-\xi}{\xi_{6}-\xi_{4}}B_{4,1}(\xi) =\frac{\xi-0}{1-0}B_{3,1}(\xi)+\frac{2-\xi}{2-1}B_{4,1}(\xi) = \\ =\frac{\xi-0}{1-0}\left[\xi \textrm{ dla } \xi\in[0,1]\right]+\frac{1-\xi}{1-0}\left[2-\xi \textrm{ dla } \xi\in[1,2] \right] = \xi^2 \textrm{ dla } \xi\in[0,1]+ (1-\xi)(2-\xi) \textrm{ dla } \xi\in[1,2] \).
\( B_{4,2}(\xi)= \frac{\xi-\xi_4}{\xi_{6}-\xi_4}B_{4,1}(\xi)+\frac{\xi_{7}-\xi}{\xi_{7}-\xi_{5}}B_{5,1}(\xi) = \frac{\xi-1}{2-1}B_{4,1}(\xi)+\frac{2-\xi}{2-1}B_{5,1}(\xi) = \\ = \frac{\xi-1}{2-1}\left[ 2-\xi \textrm{ dla } \xi\in[1,2] \right]+\frac{2-\xi}{2-1}\left[ \xi-1 \textrm{ dla } \xi\in[1,2] \right] = \\ = (\xi-1)(2-\xi)+(2-\xi)(\xi-1) \textrm{ dla } \xi\in[1,2] =2(\xi-1)(2-\xi) \textrm{ dla } \xi\in[1,2] \).
\( B_{5,2}(\xi)=\frac{\xi-\xi_5}{\xi_{7}-\xi_5}B_{5,1}(\xi)+\frac{\xi_{8}-\xi}{\xi_{8}-\xi_{6}}B_{6,1}(\xi) = \frac{\xi-1}{2-1}B_{5,1}(\xi)+\frac{3-\xi}{3-2}B_{6,1}(\xi) = \\ =\frac{\xi-1}{2-1}\left[ \xi-1 \textrm{ dla } \xi\in[1,2] \right]+\frac{3-\xi}{3-2}\left[ 3-\xi \textrm{ dla } \xi\in[2,3] \right] = (\xi-1)^2 \textrm{ dla } \xi\in[1,2] + (3-\xi)^2 \textrm{ dla } \xi\in[2,3] \).
\( B_{6,2}(\xi)=\frac{\xi-\xi_6}{\xi_{8}-\xi_6}B_{6,1}(\xi)+\frac{\xi_{9}-\xi}{\xi_{9}-\xi_{7}}B_{7,1}(\xi) =\frac{\xi-2}{3-2}B_{6,1}(\xi)+\frac{3-\xi}{3-2}B_{7,1}(\xi) = \\ =\frac{\xi-2}{3-2}\left[ 3-\xi \textrm{ dla } \xi\in[2,3] \right]+\frac{3-\xi}{3-2}\left[ \xi-2 \textrm{ dla } \xi\in[2,3] \right] = \\ = (\xi-2)(3-\xi)+(3-\xi)(\xi-2) \textrm{ dla } \xi\in[2,3] =2(\xi-2)(3-\xi) \textrm{ dla } \xi\in[2,3] \).
\( B_{7,2}(\xi)=\frac{\xi-\xi_7}{\xi_{9}-\xi_7}B_{7,1}(\xi)+\frac{\xi_{10}-\xi}{\xi_{10}-\xi_{8}}B_{8,1}(\xi) = \frac{\xi-2}{3-2}B_{7,1}(\xi)+\frac{4-\xi}{4-3}B_{8,1}(\xi) = \\ =\frac{\xi-2}{3-2}\left[ \xi-2 \textrm{ dla } \xi\in[2,3] \right]+\frac{4-\xi}{4-3}\left[ 4-\xi \textrm{ dla } \xi\in[3,4] \right] = (\xi-2)^2 \textrm{ dla } \xi\in[2,3] +(4-\xi)^2 \textrm{ dla } \xi\in[3,4] \).
\( B_{8,2}(\xi)=\frac{\xi-\xi_8}{\xi_{10}-\xi_8}B_{8,1}(\xi)+\frac{\xi_{11}-\xi}{\xi_{11}-\xi_{9}}B_{9,1}(\xi) =\frac{\xi-3}{4-3}B_{8,1}(\xi)+\frac{4-\xi}{4-3}B_{9,1}(\xi) = \\ =\frac{\xi-3}{4-3}\left[ 4-\xi \textrm{ dla } \xi\in[3,4] \right]+ \frac{4-\xi}{4-3}\left[ \xi-3 \textrm{ dla } \xi\in[3,4] \right] = \\ = (\xi-3)(4-\xi)+(4-\xi)(\xi-3) \textrm{ dla } \xi\in[3,4] =2(\xi-3)(4-\xi) \textrm{ dla } \xi\in[3,4] \).
\( B_{9,2}(\xi)=\frac{\xi-\xi_9}{\xi_{11}-\xi_9}B_{9,1}(\xi)+\frac{\xi_{12}-\xi}{\xi_{12}-\xi_{10}}B_{10,1}(\xi) = \frac{\xi-3}{4-3}B_{9,1}(\xi)+\frac{6-\xi}{5-4}B_{9,1}(\xi) = \\ =\frac{\xi-3}{4-3}\left[ \xi-3 \textrm{ dla } \xi\in[3,4] \right]+\frac{5-\xi}{5-4}\left[ 5-\xi \textrm{ dla } \xi\in[4,5] \right] = (\xi-3)^2 \textrm{ dla } \xi\in[3,4] +(5-\xi)^2 \textrm{ dla } \xi\in[4,5] \).
\( B_{10,2}(\xi)=\frac{\xi-\xi_{10}}{\xi_{12}-\xi_{10}}B_{10,1}(\xi)+\frac{\xi_{13}-\xi}{\xi_{13}-\xi_{11}}B_{11,1}(\xi) = \frac{\xi-4}{5-4}B_{10,1}(\xi)+\frac{5-\xi}{5-4}B_{11,1}(\xi) = \\ = \frac{\xi-4}{5-4}\left[ 5-\xi \textrm{ dla } \xi\in[4,5] \right]+ \frac{5-\xi}{5-4}\left[ \xi-4 \textrm{ dla } \xi\in[4,5] \right] = \\ = (\xi-4)(5-\xi)+(5-\xi)(\xi-4) \textrm{ dla } \xi\in[4,5] =2(\xi-4)(5-\xi) \textrm{ dla } \xi\in[4,5] \).
\( B_{11,2}(\xi)=\frac{\xi-\xi_{11}}{\xi_{12}-\xi_{11}}B_{11,1}(\xi)+\frac{\xi_{14}-\xi}{\xi_{14}-\xi_{12}}B_{12,1}(\xi) = \frac{\xi-4}{5-4}B_{11,1}(\xi)+{\color{red}{\frac{8-\xi}{5-5}B_{11,1}(\xi)}} = \\ = \frac{\xi-4}{5-4}\left[ \xi-4 \textrm{ dla } \xi\in[4,5] \right]= (\xi-4)^2 \textrm{ dla } \xi\in[4,5] \).
Wyprowadziliśmy właśnie funkcje bazowe rozpięte na wektorze węzłów z powtórzonymi węzłami pomiędzy każdym elementem. Można udowodnić matematycznie że wyprowadzone tutaj funkcje \( B_{1,2},...,B_{11,2} \) stanowią bazę równoważną bazie tak zwanych wielomianów Lagrange'a. Można więc używać notacji wektora węzłów żeby wyprowadzać funkcje bazowe B-spline używane w izogeometrycznej metodzie elementów skończonych, lub w celu wyprowadzenia bazy równoważnej bazie Lagrange'a używanej w klasycznej metodzie elementów skończonych.